Mundo de las matematicas

miércoles, 18 de marzo de 2015

Circulo trigonometrico

Circulo trigonométrico,también conocido como goniométrico, es aquel círculo cuyo centro coincide con el origen de coordenadas del plano cartesiano y cuyo radio mide la unidad. El círculo trigonométrico tiene la ventaja de ser una herramienta práctica en el manejo de los conceptos de trigonometría, pero al mismo tiempo es un apoyo teórico, pues ayuda a fundamentar y tener una idea precisa y formal de las funciones trigonométricas. Atreves del círculo trigonométrico se puede obtener de forma manual o analítica el valor aproximado de las razones trigonométricas para un ángulo determinado si se dispone de los instrumentos geométricos necesarios.

Se toma como base un círculo de radio r = 1 con centro o, en el origen en elplano cartesiano. Se considera un ángulo arbitrario medido a partir del eje xpositivo y en sentido positivo; o sea, en sentido contrario a las manecillas del reloj; todo ángulo puede ser colocado (y de una sola manera) de forma tal que su vértice coincida con el origen de coordenada , uno de sus lados (llamado lado inicial) coincide con la semirrecta OA y el otro lado (llamado lado terminal) quede ubicado ( a partir del inicial) en la zona de barrida en sentido contrario a la manecilla del reloj.

Características

Si la semirrecta r =1 la hacemos rotar en sentido contrario a la manecilla del reloj, describe un círculo dividido en 4 cuadrantes (I, II, III, IV). Antes de que la semirrectaOP comience a rotar, coincide con el rayo OA, formando un ángulo de 0°. Cuando la semirrecta OP rota, describe un ángulo α, el cual alcanza su máximo (describiendo un círculo completo) a 360° (2π medido en radianes). De esta forma el lado terminal de cada ángulo interseca en un único punto a la [circunferencia] y podemos asociar al ángulo en ese punto de manera unívoca.

Razones trigonométricas

Si se rota la semirrecta OP de radio r rota hasta formar un ángulo α, si proyectamos el punto P hasta el eje X,Y, se obtienen dos segmentos; sobre el eje Y se proyecta el segmento OB denominado seno del ángulo α (Seno α), sobre el eje X se proyecta el segmento OA denominado coseno del ángulo α (cos α), formando un triángulo rectángulo OAP, cuyo lado AP se le denomina cateto opuesto al ángulo α, el lado OA es el cateto adyacente al ángulo α, mientras que el lado OP= r se denomina hipotenusa. Del triángulo rectángulo anterior podemos denotar las razones trigonométricas siguientes:

sen α = PA/r
cos α = OA/r
tang α = PA/OA
cot α= OA/PA

Seno del ángulo α

A partir del ángulo α y la semirrecta r se obtiene el punto P, al trazar una perpendicular desde dicho punto y hacia el eje Y se obtiene un segmento OB = AP que se denomina seno del ángulo α (se denota como sen α), también se determina a través de la razón (PA/r).

Coseno del ángulo α

A partir del ángulo α y la semirrecta r se obtiene el punto P, al trazar una perpendicular desde dicho punto y hasta el eje X se obtiene un segmento OA = BP que se denomina coseno del ángulo α (se denota como cos α), también se determina a través de la razón OA/r.

Tangente del ángulo α

Si trazamos una semirrecta EC tangente a la circunferencia por el punto E, que toque la semirrecta OD (prolongación de la semirrecta r), se forma el segmento EC que se denomina tangente del ángulo α (se denota como tang α); también se determina a través de la razón PA/OA.

Cotangente del ángulo α

Si trazamos una semirrecta FD, tangente al punto F y que toque la semirrecta OD, se forma un segmento FD denominado Cotangente del ángulo α (se denota como cotα); también se determina a través de la razón OA/PA.

Cuadrantes del círculo trigonométrico

Si dividimos el círculo trigonométrico en 4 partes iguales se obtiene como resultado que cada [ángulo] consecutivo mide 90° (π/2 rd), cada una de las partes obtenidas se conoce como cuadrantes del círculo trigonométrico. En cada cuadrante los parámetros seno, coseno, tangente y cotangente cambian su valor numérico con el aumento o disminución del ángulo α, este hecho lo corrobora las razones trigonométricas anteriores.

Primer cuadrante

En el primer cuadrante (I), con el aumento del [ángulo] α, disminuye el cos α y la cot α, mientras que aumenta la tang α y el sen α, hasta alcanzar su máximo o mínimo valor a 90° (π/2).

Segundo cuadrante

Parámetro Signo Seno + Coseno - Tangente - Cotangente -

En el segundo cuadrante (II), con el aumento del ángulo α, disminuyen el sen α y el cos α, por lo que lo hacen también tang α y cot α, alcanzando su mínimo valor a 180° (π).

Tercer cuadrante

En el tercer cuadrante (III), con el aumento del ángulo α, disminuyen el sen α y el cos α, la tang α aumenta su valor, mientras que la cot α disminuye dado que (a partir de que seno y el coseno son negativos y la relación existente entre ellos) hasta alcanzar su mínimo o máximo valor a 270° (3π/2).

Cuarto cuadrante

En el cuarto cuadrante (IV), con el aumento del ángulo α, dirminuye el sen α, mientras que aumenta el cos α por lo que aumenta la cot α, mientras que disminuye la tang α y el, hasta alcanzar su máximo y mínimo valor a 360° (2π).

http://www.ecured.cu/index.php/C%C3%ADrculo_trigonom%C3%A9trico

Triangulo equilátero

En geometría, un triángulo equilátero, es un polígono regular con tres lados iguales. En la geometría euclídea tradicional, los triángulos equiláteros también son equiangulares, es decir, los tres ángulos internos también son congruentes entre sí, cada ángulo vale 60°.

construcción

Todo triángulo equilátero consta de tres lados iguales y tres ángulos congruentes entre sí. Teniendo esto en cuenta, su construcción puede resultar muy sencilla.

Para lograr una congruencia en los lados, es aconsejable trazar el triángulo dentro de una circunferencia (circunscrito), para ello se pueden emplear los siguientes pasos:

Trazar la circunferencia con el compás.
Trazar un radio y, a partir de éste, marcar con el transportador un ángulo de 120°.
Partiendo del trazo anterior, trazar otro ángulo de 120° (puede hacerse nuevamente con el transportador o auxiliándose del compás).
Unir los puntos.

Una alternativa puede ser la siguiente:

Teniendo dos puntos unidos en línea recta (A y B).
Trazar una circunferencia con centro en A con radio igual a la distancia entre A y B.
Trazar una circunferencia con centro en B con radio igual a la distancia entre A y B.
Siendo Γ el punto en el que se cortan las dos circunferencias construidas, unir Γ con A y B

propiedades

Dada cualquier longitud

a\,

, es posible determinar por medio del Teorema de Pitágoras las siguientes propiedades:

El valor del área es igual a $A=a^2\frac{\sqrt{3}}{4}$
El valor del perímetro es igual a $p=3a\,\!$
El radio de un círculo circunscrito es $R=a\frac{\sqrt{3}}{3}$
El radio de un círculo inscrito es $r=a\frac{\sqrt{3}}{6}$
La altura es $h=a\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

http://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_equil%C3%A1tero

Propiedades del triangulo isosceles

Para demostrar varias propiedades del triángulo isósceles, trazaremos la bisectriz del ángulo opuesto a la base.

Analicemos los triángulos ACO y BCO.

El ángulo ACO es igual al ángulo BCO, dado que la recta CO es bisectriz.

El lado AC es igual al lado BC, dado que son los lados iguales del triángulo isósceles.

El segmento CO es igual al segmento CO.

Observando las tres afirmaciones anteriores y considerando el criterio de congruencia LAL, podemos asegurar que los triángulos ACO y BCO son iguales, entonces:

Los ángulos en los vértices A y B son iguales.

Los segmentos AO y OB son iguales.

Los ángulos AOC y BOC son iguales y como son adyacentes son rectos.

Por lo tanto llegamos a las siguientes conclusiones:

En todo triángulo isósceles:

Los ángulos opuestos a los lados iguales, son iguales.

La bisectriz del ángulo opuesto a la base, corta a la base en su punto medio. La bisectriz coincide con la mediana del lado AB.

La bisectriz del ángulo opuesto a la base, es perpendicular a la base. La bisectriz coincide con la altura correspondiente al lado AB.

https://sites.google.com/a/roberprof.com/euclides/Home/triangulos/propiedades-de-los-triangulos-isosceles

Propiedades generales de los triangulos

Un triángulo puede ser definido como un polígono de tres lados, o como un polígono con tres vértices.

El triángulo es el polígono más simple y el único que no tiene diagonal. Tres puntos no alineados definen siempre un triángulo (tanto en el plano como en el espacio).

Si se agrega un cuarto punto coplanar y no alineado, se obtiene un cuadrilátero que puede ser dividido en triángulos como el de la figura de la izquierda. En cambio, si el cuarto punto agregado es no coplanar y no alineado, se obtiene un tetraedro que es el poliedro más simple y está conformado por 4 caras triángulares.

Todo polígono puede ser dividido en un número finito de triángulos, esto se logra por triangulación. El número mínimo de triángulos necesarios para esta división es n-2, donde n es el número de lados del polígono. El estudio de los triángulos es fundamental para el estudio de otros polígonos, por ejemplo para la demostración del Teorema de Pick.

En geometría euclidiana la suma de los tres ángulos internos de un triángulo es siempre 180°, lo que equivale a π radianes:

$\alpha +\beta +\gamma =180 {}^{\circ}=\pi$

Esta propiedad es el resultado de la geometría euclidiana. No se verifica en general en la geometría no euclidiana.

Euclides había demostrado este resultado en sus Elementos (proposición I-32) de la siguiente manera: se traza una paralela a la línea (AB) que pasa por C. Siendo paralelas, esta recta y la recta (AB) forman con la recta (AC) ángulos iguales, codificados en color rojo en la figura de la derecha (ángulos alternos-internos). Del mismo modo, los ángulos codificados en color azul son iguales (ángulos correspondientes). Por otro lado, la suma de los tres ángulos del vértice C es el ángulo llano. Así que la suma de las medidas del ángulo de color rojo, del ángulo verde y del azul es un ángulo de 180° (o π radianes). En conclusión, la suma de los ángulos de un triángulo es 180°.

Otras propiedades

La suma de las longitudes de dos de los lados de un triángulo es siempre mayor que la longitud del tercer lado.

El valor de la paralela media de un triángulo (recta que une dos puntos medios de dos lados) es igual a la mitad del lado paralelo.

Los triángulos (polígonos de tres lados) son los únicos polígonos siempre convexos, no pueden ser cóncavos, dado que ninguno de sus tres ángulos puede superar los 180 grados o $\pi$ radianes.

Para cualquier triángulo se verifica el Teorema del seno que establece: «Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos $a^2=b^2+c^2-2bc \cdot cos(\alpha\,)\,$ Para cualquier triángulo se verifica el Teorema del coseno que establece: «El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido»: $\frac{a}{\sin(\alpha\,)} = \frac{b}{\sin(\beta\,)} = \frac{c}{\sin(\gamma\,)}$

b^2=a^2+c^2-2ac \cdot \cos(\beta\,)\,

c^2=a^2+b^2-2ab \cdot \cos(\gamma\,)\,

Para cualquier triángulo rectángulo, cuyos catetos miden a y b, y cuya hipotenusa mida c, se verifica el Teorema de Pitágoras:

c^2 = b^2 + a^2 \,

De la ecuación anterior se deducen fácilmente 3 fórmulas de aplicación práctica:

a = \sqrt {c^2 - b^2}

$b= \sqrt{c^2-a^2}$

c = \sqrt {a^2 + b^2}

http://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo

Rectas y puntos notables del triangulo

Las rectas y puntos notables de un triángulo $ABC$ son:

las mediatrices, $m_{AB}, \ m_{AC}, \ m_{BC}$ , que se cortan en un punto llamado circuncentro $C$ ,centro de la circunferencia circunscrita al triángulo;

las medianas, $n_A ,n_B , n_C$ , que se cortan en el baricentro, $B$ , centro de gravedad del triángulo;

las bisectrices, $b_A ,b_B , b_C$ , que se cortan en el incentro $I$ , centro de la circunferencia inscrita del triángulo;

las alturas, $h_A ,h_B , h_C$ , que se cortan en el ortocentro, $O \$ .

Las mediatrices

Las mediatrices de un triángulo acutángulo se cortarán siempre en un punto interior del triángulo, luego su circuncentro será interior al triángulo.

En el caso del triángulo rectángulo vemos que el circuncentro coincide con el punto medio de la hipotenusa.

En el caso de un triángulo obtusángulo, el circuncentro es exterior al triángulo.

Las medianas

Las medianas se cortan siempre en un punto interior del triángulo.

El baricentro tiene una propiedad física importante: es el centro de gravedad del triángulo.

Si unimos los puntos medios de los lados del triángulo $ABC$ obtenemos el triángulo $MPN \$ que tiene el mismo baricentro que $ABC$ y sus medianas miden la mitad que las de $ABC$ .

Además los lados de $MPN \$ miden la mitad que los lados de $ABC$ y la superficie de $MPN \$ es la cuarta parte de la superficie de $ABC$ , pues podemos comprobar que al trazar $MPN \$ se han definido otros tres triángulos iguales: $BMP, PCN y AMN$ .

Consideramos una mediana $AP$ . Si $B$ es el baricentro se cumple que $AB = 2BP$ .

Se cumple también que si se dibuja $BY$ , la mediana de la mediana $AP$ , ésta corta al lado $AC$ siendo: $ZC=2AZ$ .

Las alturas

Las alturas de un triángulo acutángulo se cortan siempre en un punto interior del triángulo, luego su ortocentro es interior al triángulo.

En el caso de un triángulo obtusángulo, el ortocentro es exterior al triángulo.

En el caso del triángulo rectángulo vemos que el ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto.

Las bisectrices

Las bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo $ABC$ se cortan en un punto llamado incentro que siempre es interior al triángulo. Como elincentro $I$ pertenece a las tres bisectrices equidista de los tres lados y es el centro de la circunferencia inscrita a $ABC$ .

Para dibujar dicha circunferencia debemos hallar los puntos de tangencia sobre los lados. Basta con trazar una perpendicular desde $I$ a uno de ellos, por ejemplo al lado $c$ , obteniendo $Tc$ y, a continuación trasladar el resultado a cada uno de los lados del triángulo, como se ve en la figura, ya que $ATc=ATb, \ BTc=BTa$ y $CTa=CTb$ .

El teorema de la bisectriz dice que “la bisectriz de un ángulo interno corta al lado opuesto en partes proporcionales a los otros lados”.

Demostraremos este teorema al ocuparnos de la proporcionalidad directa.